Producto de matrices

Probablemente, las matrices son el primer contacto que se tiene con elementos matemáticos cuyo producto no es conmutativo. Es decir, si A y B son dos matrices, no siempre se cumple A⋅B=B⋅A.

Son varias las operaciones que se pueden hacer con las matrices como la suma, la inversión o el cálculo de rango de matrices. Pero en esta entrada nos centramos en el producto de matrices, operación clave para la geometría, ya que es un cálculo fundamental a la hora de analizar cambios de base y traslaciones y/o rotaciones de ésta.

Figura 1. Multiplicación de matrices, via TEXample

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, la multiplicación de A por B, o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C. En las Figuras 1 y 2 podemos ver la metodología para multiplicar dos matrices.

Figura 2. Multiplicación de matrices, via Wikimedia Commons

Las propiedades del producto de matrices son:

1.  Asociativa:
   A · (B · C) = (A · B) · C
   
2. Elemento neutro:
   A · I = A
   Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
   
3. Distributiva del producto respecto de la suma:
   A · (B + C) = A · B + A · C
   
4. No es Conmutativa:
   A · B ≠ B · A