Operaciones con vectores

Se pueden realizar varias operaciones con los vectores.

Empezaremos con el producto escalar.

Figura 1. Producto escalar, via Wikimedia Commons

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.$$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \cdot \left| \overrightarrow { b }  \right| \cdot \cos { \theta } $$ $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } ={ a }_{ 1 }\cdot { b }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }\cdot { b }_{ 2 }+{ a }_{ 3 }\cdot { b }_{ 3 }$$ Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.$$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } ={ a }_{ 1 }\cdot { b }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }\cdot { b }_{ 2 }+{ a }_{ 3 }\cdot { b }_{ 3 }=0$$ Propiedades del mundo escalar:

1. Conmutativa $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\overrightarrow { b } \cdot \overrightarrow { a } $$
2. Asociativa $$k\cdot \left( \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b }  \right) =\left( k\cdot \overrightarrow { a }  \right) \cdot \overrightarrow { b } $$
3. Distributiva $$\overrightarrow { a } \cdot \left( \overrightarrow { b } +\overrightarrow { c }  \right) =\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { c } $$
4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo $$\overrightarrow { a } \neq 0\quad \Rightarrow \quad \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a } >0$$

Otra operación con vectores sería el producto vectorial. 

Figura 2. Producto vectorial, via Wikimedia Commons

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos (ver regla de la mano derecha) al girar de u a v. Su módulo es igual a: $$\left| \overrightarrow { u } \times \overrightarrow { v }  \right| =\left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right| \sin { \theta  } $$ El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante: $$\overrightarrow { u } \times \overrightarrow { v } =\left| \begin{matrix} \overrightarrow { i }  & \overrightarrow { j }  & \overrightarrow { k }  \\ { u }_{ 1 } & { u }_{ 2 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 2 } & { v }_{ 3 } \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} { u }_{ 2 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 2 } & { v }_{ 3 } \end{matrix} \right| \overrightarrow { i } -\left| \begin{matrix} { u }_{ 1 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 3 } \end{matrix} \right| \overrightarrow { j } +\left| \begin{matrix} { u }_{ 1 } & { u }_{ 2 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 2 } \end{matrix} \right| \overrightarrow { k } $$