Esta semana ha sido bastante corta, ya que ha consistido básicamente en las sesiones de evaluación. A pesar de ya haber asistido a las evaluaciones de 2º de bachillerato, quería asistir a las evaluaciones del alumnado al cual había impartido clases. Sigue despertando en mí curiosidad la sesión de evaluación, a pesar de que no hay nada en ella que no esperase. Por lo general, el profesorado se centra en aquellos alumnos que, habiendo suspendido varias, pueden ser, como ellos mismo definen, "recuperables". Con aquellos excesivamente disruptivos se centran en saber cuál va a ser su futuro más próximo y si éste está lejos de las aulas y con los alumnos que tienen todo aprobado no se centran demasiado.
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. $$v\quad =\quad { a }_{ 1 }\overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\quad { a }_{ 2 }\overrightarrow { { v }_{ 2 } } +\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }\overrightarrow { { v }_{ n } } $$
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.Esta combinación lineal es única.$$v\quad =\quad \overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\overrightarrow { { v }_{ 2 } } $$
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. $${ a }_{ 1 }\overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\quad { a }_{ 2 }\overrightarrow { { v }_{ 2 } } +\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }\overrightarrow { { v }_{ n } } =\quad \overrightarrow { 0 } $$
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.$${ a }_{ 1 }\overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\quad { a }_{ 2 }\overrightarrow { { v }_{ 2 } } +\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }\overrightarrow { { v }_{ n } } =\quad \overrightarrow { 0 } $$$${ a }_{ 1 }+\quad { a }_{ 2 }+\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }=\quad \overrightarrow { 0 } $$
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.$$\left| \begin{matrix} { u }_{ 1 } & { u }_{ 2 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 2 } & { v }_{ 3 } \\ { w }_{ 1 } & { w }_{ 2 } & { w }_{ 3 } \end{matrix} \right| \neq 0$$
Tres vectores u, v y w con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.$$\overrightarrow { x } =a\overrightarrow { u } +b\overrightarrow { v } +c\overrightarrow { w } $$
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.Esta combinación lineal es única.$$v\quad =\quad \overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\overrightarrow { { v }_{ 2 } } $$
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| Figura 1. Combinación de vectores, via Wikimedia Commons |
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. $${ a }_{ 1 }\overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\quad { a }_{ 2 }\overrightarrow { { v }_{ 2 } } +\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }\overrightarrow { { v }_{ n } } =\quad \overrightarrow { 0 } $$
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.$${ a }_{ 1 }\overrightarrow { { v }_{ 1 } } +\quad { a }_{ 2 }\overrightarrow { { v }_{ 2 } } +\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }\overrightarrow { { v }_{ n } } =\quad \overrightarrow { 0 } $$$${ a }_{ 1 }+\quad { a }_{ 2 }+\quad ...\quad +\quad { a }_{ n }=\quad \overrightarrow { 0 } $$
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.$$\left| \begin{matrix} { u }_{ 1 } & { u }_{ 2 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 2 } & { v }_{ 3 } \\ { w }_{ 1 } & { w }_{ 2 } & { w }_{ 3 } \end{matrix} \right| \neq 0$$
Tres vectores u, v y w con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.$$\overrightarrow { x } =a\overrightarrow { u } +b\overrightarrow { v } +c\overrightarrow { w } $$
Las coordenadas del vector respecto a la base son: $$\overrightarrow { x } =(a,\quad b,\quad c)$$
Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.$$\left\{ \overrightarrow { i } ,\overrightarrow { j } ,\overrightarrow { k } \right\} $$ $$\overrightarrow { i } =\quad \left( 1,0,0 \right) \quad \quad \overrightarrow { j } =\quad \left( 0,1,0 \right) \quad \quad \overrightarrow { k } =\left( 0,0,1 \right) $$ En la siguiente figura podemos ver cómo sería una base ortonormal.
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| Figura 2. Base ortonormal ijk, via Wikimedia Commons |
La base ortonormal es la más común que nos encontraremos a lo largo de nuestras vidas, y nos servirá como sistema de referencia para infinidad de aplicaciones.
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