Cálculo de áreas

Existen varios métodos para medir diferentes figuras geométricas, tanto aquellas que existen en las 2 dimensiones como aquellas que existen en las 3 dimensiones. Para muchas de ellas, existe un método geométrico para medir su área o su volumen. En esta entrada veremos varios ejemplos con sus respectivas figuras representativas.

Triángulo$$A=\frac { 1 }{ 2 } \left| \overrightarrow { a } \times \overrightarrow { b }  \right| $$ El área del triángulo se puede medir geométricamente a través del producto vectorial de dos lados del triángulo dividido entre dos.

Figura 1. Área del triángulo, via Wikimedia Commons

Paralelogramo. Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. $$A=\left| \overrightarrow { a }  \right| \cdot h=\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \sin { \alpha  } =\left| \overrightarrow { a } \times \overrightarrow { b }  \right| $$

Figura 2. Área del paralelogramo, via Wikimedia Commons

Tetraedro. El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.$$V=\frac { 1 }{ 6 } \left| \begin{matrix} { u }_{ 1 } & { u }_{ 2 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 2 } & { v }_{ 3 } \\ { w }_{ 1 } & { w }_{ 2 } & { w }_{ 3 } \end{matrix} \right| $$ Siendo u, v y w los vectores correspondientes a tres lados del tetraedro cuyo punto de origen es el mismo vértice.

Figura 3. Tetraedro, via Wikimedia Commons

Paralelepípedo. Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice. $$V=\left| \begin{matrix} { u }_{ 1 } & { u }_{ 2 } & { u }_{ 3 } \\ { v }_{ 1 } & { v }_{ 2 } & { v }_{ 3 } \\ { w }_{ 1 } & { w }_{ 2 } & { w }_{ 3 } \end{matrix} \right| $$

Figura 4. Paralelepípedo, via Wikimedia Commons