Esta semana ha sido bastante corta, ya que ha consistido básicamente en las sesiones de evaluación. A pesar de ya haber asistido a las evaluaciones de 2º de bachillerato, quería asistir a las evaluaciones del alumnado al cual había impartido clases. Sigue despertando en mí curiosidad la sesión de evaluación, a pesar de que no hay nada en ella que no esperase. Por lo general, el profesorado se centra en aquellos alumnos que, habiendo suspendido varias, pueden ser, como ellos mismo definen, "recuperables". Con aquellos excesivamente disruptivos se centran en saber cuál va a ser su futuro más próximo y si éste está lejos de las aulas y con los alumnos que tienen todo aprobado no se centran demasiado.
La gran mayoría os habréis cruzado con la fórmula para determinar la distancia que hay entre un punto y una recta en un espacio de dos dimensiones.
Distancia de un punto P(x0, y0) a una recta r: Ax + By + C = 0.
Siendo dicha fórmula: $$d\left( P,\quad r \right) \quad =\quad \frac { \left| \vec { { u }_{ r } } \quad x\quad \vec { QP } \right| }{ \left| \vec { { u }_{ r } } \right| } =\quad \frac { \left| A{ x }_{ 0 }\quad +\quad B{ y }_{ 0 }\quad +\quad C \right| }{ \sqrt { { A }^{ 2 }\quad +\quad { B }^{ 2 } } } $$
Pero, ¿de dónde sale esa fórmula? A simple vista, es difícil entender su significado a través de un procesamiento visual.
Existen varias maneras de demostrar el origen de dicha fórmula. Una de las maneras de demostrar esta fórmula es a través de la proyección del vector, es decir, a través del producto escalar, la cual es la más sencilla de entender, ya que emplea pocos conocimientos teóricos y puede ser fácilmente recordable. De la Figura 1 tenemos que el punto Q(x1, y1), es un punto cualquiera perteneciente a la recta r, y a partir de ese punto hay un vector perpendicular a la recta r, de nombre n(a, b). La proyección del vector QP sobre el vector n tiene una amplitud igual a la distancia del punto P a la recta r. La distancia de dicha proyección es $$d\quad =\quad \frac { \left| \vec { QP } \quad x\quad n \right| }{ \left\| n \right\| } $$
Así pues $$d\quad =\quad \frac { \left| a\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) +b\left( { y }_{ 0 }-{ y }_{ 1 } \right) \right| }{ { \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } } $$
Como Q es un punto perteneciente a la línea r, c = -ax1 - by1. Por tanto, llegamos a la fórmula del principio $$d\left( P,\quad r \right) \quad =\quad \frac { \left| \vec { { u }_{ r } } \quad x\quad \vec { QP } \right| }{ \left| \vec { { u }_{ r } } \right| } =\quad \frac { \left| A{ x }_{ 0 }\quad +\quad B{ y }_{ 0 }\quad +\quad C \right| }{ \sqrt { { A }^{ 2 }\quad +\quad { B }^{ 2 } } } $$
Distancia de un punto P(x0, y0) a una recta r: Ax + By + C = 0.
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| Figura 1. Distancia punto recta. Via Wikimedia Commons. |
Siendo dicha fórmula: $$d\left( P,\quad r \right) \quad =\quad \frac { \left| \vec { { u }_{ r } } \quad x\quad \vec { QP } \right| }{ \left| \vec { { u }_{ r } } \right| } =\quad \frac { \left| A{ x }_{ 0 }\quad +\quad B{ y }_{ 0 }\quad +\quad C \right| }{ \sqrt { { A }^{ 2 }\quad +\quad { B }^{ 2 } } } $$
Pero, ¿de dónde sale esa fórmula? A simple vista, es difícil entender su significado a través de un procesamiento visual.
Existen varias maneras de demostrar el origen de dicha fórmula. Una de las maneras de demostrar esta fórmula es a través de la proyección del vector, es decir, a través del producto escalar, la cual es la más sencilla de entender, ya que emplea pocos conocimientos teóricos y puede ser fácilmente recordable. De la Figura 1 tenemos que el punto Q(x1, y1), es un punto cualquiera perteneciente a la recta r, y a partir de ese punto hay un vector perpendicular a la recta r, de nombre n(a, b). La proyección del vector QP sobre el vector n tiene una amplitud igual a la distancia del punto P a la recta r. La distancia de dicha proyección es $$d\quad =\quad \frac { \left| \vec { QP } \quad x\quad n \right| }{ \left\| n \right\| } $$
Así pues $$d\quad =\quad \frac { \left| a\left( { x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 } \right) +b\left( { y }_{ 0 }-{ y }_{ 1 } \right) \right| }{ { \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } } } $$
Como Q es un punto perteneciente a la línea r, c = -ax1 - by1. Por tanto, llegamos a la fórmula del principio $$d\left( P,\quad r \right) \quad =\quad \frac { \left| \vec { { u }_{ r } } \quad x\quad \vec { QP } \right| }{ \left| \vec { { u }_{ r } } \right| } =\quad \frac { \left| A{ x }_{ 0 }\quad +\quad B{ y }_{ 0 }\quad +\quad C \right| }{ \sqrt { { A }^{ 2 }\quad +\quad { B }^{ 2 } } } $$
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